倍角公式和半角公式

三角函数的倍角公式和半角公式是三角学中常用的公式，用于计算角度的二倍角和半角对应的三角函数值。以下是这些公式的概述：

倍角公式

正弦的二倍角公式：

$$ \\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha $$

余弦的二倍角公式：

$$ \\cos 2\\alpha = \\cos^2 \\alpha - \\sin^2 \\alpha = 2\\cos^2 \\alpha - 1 = 1 - 2\\sin^2 \\alpha $$

正切的二倍角公式：

$$ \\tan 2\\alpha = \\frac{2\\tan \\alpha}{1 - \\tan^2 \\alpha} $$

半角公式

正弦的半角公式：

$$ \\sin^2 \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos \\alpha}{2} $$

$$ \\sin \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\sin \\alpha}{1 + \\cos \\alpha} $$

余弦的半角公式：

$$ \\cos^2 \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 + \\cos \\alpha}{2} $$

$$ \\cos \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} $$

正切的半角公式：

$$ \\tan^2 \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1 - \\cos \\alpha}{1 + \\cos \\alpha} $$

$$ \\tan \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\sin \\alpha}{1 + \\cos \\alpha} = \\frac{1 - \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} $$

这些公式在解决三角问题时非常有用，尤其是在已知一个角度的三角函数值，需要求另一个角度的三角函数值时。

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