利用导数定义求极限

导数的定义：设函数f(x)。

1. 识别形式
   • 观察极限式子：看所给极限是否能转化为导数定义的形式lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx。

1. 简单函数形式
   • 示例一：
     • 设f(x)=3x+5f(x)=3x + 5f(x)=3x+5，求lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{f(x + h)-f(x)}{h}h→0lim​hf(x+h)−f(x)​。
     • 首先将f(x+h)=3(x+h)+5=3x+3h+5f(x + h)=3(x + h)+5 = 3x+3h + 5f(x+h)=3(x+h)+5=3x+3h+5，f(x)=3x+5f(x)=3x + 5f(x)=3x+5代入极限式子得到lim⁡h→0(3x+3h+5)−(3x+5)h\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{(3x+3h + 5)-(3x + 5)}{h}h→0lim​h(3x+3h+5)−(3x+5)​。
     • 化简得lim⁡h→03hh=3\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{3h}{h}=3h→0lim​h3h​=3，这其实就是f(x)=3x+5f(x)=3x + 5f(x)=3x+5的导数f′(x)=3f^{\\prime}(x)=3f′(x)=3。
2. 复合函数形式
   • 示例二：
     • 设y=f(u)=uy = f(u)=\\sqrt{u}y=f(u)=u​，u=g(x)=x2+1u = g(x)=x^2 + 1u=g(x)=x2+1，求lim⁡x→0f(g(x))−f(g(0))x\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{f(g(x))-f(g(0))}{x}x→0lim​xf(g(x))−f(g(0))​。
     • 先计算g(0)=02+1=1g(0)=0^2 + 1 = 1g(0)=02+1=1，f(g(0))=f(1)=1=1f(g(0)) = f(1)=\\sqrt{1}=1f(g(0))=f(1)=1​=1。
     • f(g(x))=x2+1f(g(x))=\\sqrt{x^2 + 1}f(g(x))=x2+1​，则极限式子变为lim⁡x→0x2+1−1x\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{\\sqrt{x^2 + 1}-1}{x}x→0lim​xx2+1​−1​。
     • 此时分子分母同时乘以x2+1+1\\sqrt{x^2 + 1}+1x2+1​+1进行有理化，得到lim⁡x→0(x2+1)−1x(x2+1+1)=lim⁡x→0x2x(x2+1+1)=lim⁡x→0xx2+1+1=0\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{(x^2 + 1)-1}{x(\\sqrt{x^2 + 1}+1)}=\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{x^2}{x(\\sqrt{x^2 + 1}+1)}=\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{x}{\\sqrt{x^2 + 1}+1}=0x→0lim​x(x2+1​+1)(x2+1)−1​=x→0lim​x(x2+1​+1)x2​=x→0lim​x2+1​+1x​=0。从导数定义角度看，这个极限是复合函数y=f(g(x))y = f(g(x))y=f(g(x))在x=0x = 0x=0处导数相关的极限计算。
3. 涉及特殊函数值或已知条件的形式
   • 示例三：
     • 已知f(x)f(x)f(x)在x=2x = 2x=2处可导，且f(2)=3f(2)=3f(2)=3，f′(2)=4f^{\\prime}(2)=4f′(2)=4，求lim⁡x→2f(x)−3x−2\\lim\\limits_{x \\to 2}\\frac{f(x)-3}{x - 2}x→2lim​x−2f(x)−3​。
     • 由导数定义可知，这个极限式子就是f(x)f(x)f(x)在x=2x = 2x=2处的导数定义形式，所以该极限值为f′(2)=4f^{\\prime}(2)=4f′(2)=4。

高等数学入门——利用导数定义求导数和极限

高等数学入门——利用导数定义求导数和极限，这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释，并配以一些例题，大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，难度适中，其中包含一些考研数学中的经典题目。 本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导，高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。 既然是入门，就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容(例如用ε-δ语言证明极限，以及教材中多数定理的证明)，有些较深入的问题(例如无穷大与无界的区别和联系，导函数的特性，拉格朗日中值定理的证明思路等)我们会以专题文章的形式给出，供有兴趣的读者选读。

《导数定义与极限》课件

《导数定义与极限》课件首页专题库PPT模板库文档定制热门检索牛人榜4、准则，适用于任意数列的收敛性判断。 极限存在准则无穷小的定义在一定条件下，一个变量趋于零的性质。 无穷大的定义在一定条件下，一个变量趋于无穷大的性质。 无穷小与无穷大06极限的应用总结词通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式。 详细描述在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而证明这些等式或不等式。 例如，利用极限证明一些函数的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等。 利用极限证明等式或不等式通过求极限，我们可以得到一些难以直接求得的函数值。 总结词有些函数可能在某一点的函数值难以直接求得，但通过求极限，我们可以得到这些难以直接求得的函数值。 例如，利用极限求得函数在无穷远处的极限值，或者利用极限求得函数在某一点的导数值等。 详细描述利用极限求函数的值总结词通过研究函数的极限行为，我们可以了解函数的性质。 详细描述极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连续性、可导性、单调性等。 例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极值和最值等。 利用极限研究函数的性质谢谢聆听《《导数定义与极限》课件》由会员亦*分享，可在线阅读，更多相关《《导数定义与极限》课件》请在金锄头文库上搜索。

如何利用导数的定义求极限?遇到一的无穷次幂未定型怎么处理最...

利用导数的定义求极限之一的无穷次幂未定型结合定义公式求解 高等数学三大计算板块2-导数 导数-斜率-切线方程-曲线方程-有什么关系?会出什么样的题目?如何根据曲线求出与其相切的另一条曲线的方程? 04:54 连续性与可导性的关系如何利用?怎样知道函数是否连续?是否可导?左右极限和左右导数怎么用?怎么利用导数的定义证明连续与可导? 08:11 导数的定义题求切线方程相关-如何利用导数定义求切线方程?怎样通过极限理解导数的定义?如何利用已知条件求切线方程?和斜率有什么关系? 13:03 参数方程求导、求二阶导数 02:29 如何分析函数的连续性与可导性?利用函数极限与连续的定义和性质分析!函数连续性用极限来表达、可导性用导数定义表达，分段函数用求导法则和定义解决! 06:19 如何精准构造导数的定义?导数的定义经典题目及考研真题详解方法总结复习:利用导数的定义求极限、构造导数的定义 09:59 求导数时函数很复杂如何利用非零因子求导数?怎样提出非零因子?什么时候可以提出非零因子?利用导数的定义结合非零因子求导数 07:33 在分段函数中，如何利用导数的定义来确定常数a和b? 09:00 LegacyBrowser来B站，一起期末生存大作战!icon

快且准地利用导数定义求极限的技法

从极限的概念可知，自变量x可以从两个方向向一点趋近，即左趋近和右趋近，对应导数定义，很自然地可以分为左导数和右导数。 在需要利用导数定义求极限时，一种常见的错误是:只记住了一种导数定义形式，…。 快且准地利用导数定义求极限的技法 想要快且准地利用导数定义求极限，一方面需要深刻理解导数定义，并能迅速地、准确地将导数定义的数学表达式写出来;另一方面，需要知道极限的一些运算法则。 关键技法则是对照导数定义凑极限表达式。 在右导数定义中，极限表达式中分母大于0;在左导数定义中，极限表达式中分母小于0。 这个细节对求解极限极其重要。 此习题涉及一额外知识点(不需要证明，直接可用):若函数f(x)为周期函数，最小正周期为T，且f(x)在定义域内可导，则函数f(x)的导函数亦为周期函数，最小正周期亦为T。 具体解答过程见下: 在需要利用导数定义求极限时，一种常见的错误是:只记住了一种导数定义形式，而忽视了另一种导数定义形式，进而错误的计算，甚至不会计算。 另一种常见错误是将符号丢掉。 如上题，是-3tanh对应△x，而不是3tanh对应△x。

极限计算方法利用导数求极限

极限计算方法利用导数求极限.docx 黑龙江考研网(hljkaoyan)利用导数求极限极限是研究变量变化趋势的基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分等都是建立在极限的基础之上的，因此考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练而又灵活的掌握各种技巧的应用。 本文主要介绍了利用导数求极限与已知极限求导数的基本应用。 旨在让大家达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题从而达到使问题简单化的目的。 一、导数定义法求极限这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是所求函数满足导数定义的形式，此时可以用导数定义法比较方便的求出极限。 定义设函数fx在0x的某领域内有定义，给自变量0x在0x处加上增量x，相应的得到因变量0x的增量00()()yfxxfx.如果极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称函数在0x处可导，将该极限值称为函数在0x处的导数。 记作0fx.例1、设函数fx，其中10f，11f，求极限lim()2xxxfx.解:根据函数fx在1x处的导数的定义:0(1)(1)1limxfxffx所以2(1)(1)222lim()lim(1)lim2(1)222222xxxffxxxxfxffxxxx二、已知极限求导数黑龙江考研网(hljkaoyan)求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使已知极限的结构形式转换为所求极限的形式是顺利求导的关键。 因此，导数与极限的考查可以是已知导数求极限，也可以通过极限去求导数。 例2、已知fx在2x处可导，22()lim24xfxx，求2f及2f。 解:由于22()()1limlim2(2)(2)(2)2xxfxfxxxxx，所以2()lim82xfxx则由函数在2x处的连续性知22()(2)lim()lim(2)0(2)xxfxffxxx，22()(2)()(2)limlim822xxfxffxfxx.由于导数的定义由极限形式表示，所以导数的定义往往与极限的计算结合在一起进行考查，考生只有熟练掌握导数定义的本质属性才能灵活运用导数的定义求解极限的题目。 最后，黑龙江考研网预祝各位考生考研成功!。 君，已阅读到文档的结尾了呢~~ 四川省高三数学极限导数课件极限2.2数列的极限2.ppt[精]高三第一轮复习全套课件12极限与导数:第1课时数列、函数的极限求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理(教学资料)极限的概念及求极限方法总结求极限的方法并举例，求下列极限高等数学求数列极限的若干方法求函数极限的若干方法求极限的方法及例题求极限的常用方法小结及例题[求数列极限方法总结]求数列极限的方法总结变量的极限及求极限的方法分享于2019-03-1116:00 页数:21

导数定义求极限步骤

导数定义 首先我们要知道导数定义求极限的步骤是什么，我们大家明白了题的重要性之后，还要知道概述。 然后我们还要知道，我们要用定义来求函数的导数到底是什么，然后就是要知道评注。 我们知道了评注之后，我们大家要用的导数的定义来求极限，这样的话我们才可以清楚。 最后我们大家用的导数的定义来求极限了之后，然后接着再来一起做我们的课后练习的题。 1.知道题的重要性之后，还要知道概述。 2.定义来求函数的导数到底是什么。 3.一起做课后练习的题。 要想清楚导数定义求极限的步骤是什么。 用定义来求函数它在某个点处的导数。 经验内容仅供参考，如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等地方)，建议您详细咨询相关领域专业人士。 2024最新高中所有数学公式经典总结优秀范文参考、下载，小初高优秀作文范文资料1亿+.1亿+范文库，全面覆盖中小学同步单元作文、考试作文、专项作文。 导数精选高中数学公式导数公式试卷答案，可下载打印，随下随用对知识进行梳理，深入浅出。 试卷解析，强化学习。 下载打印尽在百度教育。

极限的法则(导数求极限的法则)

渃帆生活网渃帆生活网渃帆生活网渃帆生活网极限的法则(导数求极限的法则)正文 1、分数乘以整数的计算规则 2.分数乘以分数的计算规则 分子乘以分子的积是分子，分母乘以分母的积是分母。 3.分数除法的计算规则 除以一个非零的数等于乘以这个数的倒数。 二、分数计算* 1.加减分母分数，分母不变，即分数的单位不变，加减分子，可以近似出报价分数。 2.不同分母的分数相加和相减。 利用之一遍分数，即分数的基本性质，将不同的分母转化为相同的分母分数，改变分数的单位而不改变其大小。 然后加减同分母分数，最后粗略划分offer分。 3.分数乘以一个整数，分母不变，分子乘以一个整数，最后可以降低offer分数。 4.分数乘以分数，分子乘以分子，分母乘以分母，最后提供可粗分的点数。 5.分数除以整数，分母不变。 如果分子是整数的倍数，那就用分子除以整数，最后就可以大致划分出offer分数了。 6.分数除以整数，分母不变。 如果分子不是整数的倍数，就把这个分数乘以整数的倒数，最后得到大概的offer分数。 7.分数除以分数，等于除数的倒数乘以除数。最后，offer分数可以近似划分。 扩展数据 与分数相关的注意事项: 分母一定不能是0，因为分母相当于除数。 它相当于将0除以任意数。 (2)一个分数中的分子或分母经过粗除后不能是无理数(如2的平方根)，否则不是分数。 (注:如果不是最简分数，必须化为最简分数后再判断;分母为2或5的最简单分数可以转化为有限小数，分母为其他素数的最简单分数可以转化为纯循环小数)。 洛必达定律是通过分别推导分子和分母，然后在一定条件下求极限来确定待定值的*。 众所周知，两个无穷小之比的极限或两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在。 因此，在计算这类极限时，往往需要适当的变形，将其转化为极限算法或重要的极限形式进行计算。 罗比塔定律的公式:η=g/nf。 函数与极限的对应定律 函数与极限 1.如果函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1，则函数f(x)在定义域内有一个下界，K1为下界;如果f(x)≤K2，则存在上界，K2称为上界。 函数f(x)在定义域内有界的充要条件是定义域内既有上界又有下界。 2.数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛到两个不同的极限。 定理(收敛序列的有界性)如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}必定有界。 如果序列{xn}是无界的，那么序列{xn}必定发散;但是，如果序列{xn}是有界的，则不能得出序列{xn}收敛的结论，例如，序列1，-1，1，-1，(-1)n+1...有界但发散，所以这是序列收敛的必要但非充分条件。 同时，发散序列的子序列也可能是收敛的。 3.函数的极限。在函数极限的定义中，。 定理(极限的局部保号性质)如果当lim(x→x0)和A0(或A0(或f(x)0)时f(x)=A，则反之成立。 F(x)当x→x0时，极限存在的充要条件是左极限和右极限存在且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)。 如果它们不相等，limf(x)就不存在。 一般来说，如果lim(x→∞)f(x)=c，那么直线y=c就是函数y=f(x)的图形水平渐近线。 4.极限算法定理:有限个无穷小的和也是无穷小;有界函数和无穷小的乘积是无穷小;常数和无穷小的乘积是无穷小;一个有限无穷小的乘积也是无穷小;如果定理F1(x)≥F2(x)，limF1(x)=a且limF2(x)=b，则A≥B. 数学极限问题 函数极限的四则运算法则:设有函数，若在自变量f(x)，g(x)的同一变化过程中，有limf(x)=A，limg(x)=B，则极限的四个运算法则:有一个函数。 如果自变量f(x)和g(x)的同一个变化过程中存在LIMf(x)=A和LIMg(x)=B，则函数极限的四种算法:有一个函数。 如果LIMf(x)=A和LIMg(x)=B存在于自变量f(x)和g(x)的同一个变化过程中，那么。 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Blim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABlim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABlim[f(x)g(x)] 书上应该有这些极限的算法:然后，对于连续函数F，F定义在A和A的邻域内，你说的代换其实是主要应用，还有前面的性质。

利用导数定义求相关极限

首发于高等数学-极限计算切换模式利用导数定义求相关极限没回你消息的时候就是在忙着拯救世界8人赞同了该文章导数微积分

导数和极限的关系

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。 可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。 在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。 答:答:区别:直营店和4s店的主要区别是4s店是一种以\"四位一体\"为核心的汽车特许经营模式，而直营店是由总公司直接经营的连锁店，即由公司总部直接经营、投资、管理各个零售点的经营形态。 总部采取纵深似的管理方式，直接下令掌管所有的零售点。 汽车销售除了4S店之外，还有直营店和二级网点。 直营店多是4s店在乡镇或空白地区建立的直营关系的销售网点，二级网点与4s店是合作关系，多建于乡镇和4s店的空白地区，从4s店拿车至其覆盖区域。 除了需要留下让对方记忆深刻而且印象良好的第一印象，还需要寻找让对方认同的话题，和她进行沟通交流。 百香果怎么储存最好呢百香果可以放在通风干燥的环境中保存，也可用保鲜薄膜包裹好后放置冰箱中冷冻。 用保鲜薄膜将百香果包裹好后放置冰箱中冷冻，即可延长百香果的保存期限，解冻后即可食用，但此法会略微降低口感。 毛呢皱了没有熨斗怎么1.吹风机法用吹风机熨大衣，塑料集风嘴非常有用。 吹风机需和大衣保持2.5到5厘米的距离，小心切勿烧坏大衣。 2.平板直发器法此方法经过证实只能有效去除小面积褶皱。 打开平板直发器电源，让它慢慢变热。 不要太热，以免熨坏衣服。 变热后，你只需像拉直头发一样把褶皱拉直。 如果你有专门用来拉直湿发的直发器，可弄湿你要熨的大衣部位，然后把直发器设置到非常低的温度，慢慢熨平褶皱处。 3.毛巾法只需取一件沐浴或洗澡时用过、还稍微有些湿的毛巾(最好是刚用过)，把大衣铺在平面上(床或桌子)，然后直接把毛巾铺在大衣上。 这个方法需要花费更长的时间，但用手隔着毛巾抚平大衣，就能让大衣没有褶皱。 4.浴室除皱法把大衣挂在淋浴帘外面。 当洗澡的时候把你褶皱的大衣挂在外面，蒸汽会帮你。 这样洗好澡，衣服也恢复平整了。 5.DIY热水壶熨斗热水壶也可以用来平整衣物。 将起皱的大衣放在离壶嘴20厘米处，让蒸汽帮你熨平。 6.洗衣机烘除皱法把起皱的大衣和一两件潮湿的衣物一起放入洗衣机，以中温热烘，这样，高温也能让衣服平整。 高速公里的收费标准为:每公里收费0.5元，有些个别公路收费不一样，但普通的都是一样的。

怎么用导数求极限?

怎么用导数求极限?具体回答如下:x→0时，e^x→1，e^(tanx-x)-1等价于tanx-x所以e^tan-e^x等价于tanx-xx→0时，tanx-x等价于x^n，=lim(x→0)(tanx-x)/x^n=lim(x→0)((secx)^2-1)/nx^(n-1)=lim(x→0)(tanx)^2/nx^(n-1)=lim(x→0)x^2/nx^(n-1)=lim(x→0)x^(3-n)/nn=3求极限基本方法有:1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。 2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。 3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分...。 具体回答如下:x→0时，e^x→1，e^(tanx-x)-1等价于tanx-x所以e^tan-e^x等价于tanx-xx→0时，tanx-x等价于x^n，=lim(x→0)(tanx-x)/x^n=lim(x→0)((secx)^2-1)/nx^(n-1)=lim(x→0)(tanx)^2/nx^(n-1)=lim(x→0)x^2/nx^(n-1)=lim(x→0)x^(3-n)/nn=3求极限基本方法有:1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。 3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

课时18:利用导数定义求导或求极限

课时18:利用导数定义求导或求极限，于2020年5月21日上线。西瓜视频为您提供高清视频，画面清晰、播放流畅，看丰富、高质量视频就上西瓜视频。课时18:利用导数定义求导或求极限

13. 导数定义求极限,一个巧妙又少见的方法

13.导数定义求极限，一个巧妙又少见的方法 有很多求极限的方法。但你见过用导数定义求函数极限吗?这个方法在计算某些函数极限的时候非常好用。 一线教师，学渣救星，撸题大师养成中 自动连播 30.9万播放 订阅合集 65.五种巧妙方法计算n^(n分之一)极限为1 10:12 61.计算幂指函数极限的诀窍 02:44 58.回天无力!一个洛神也无法洛的超级简单函数极限! 02:31 50.妙极!欧拉常数求数项级数和 05:33 05:19 42.巧用函数周期算极限 02:28 39.几何算术平均不等式妙用!证经典数列收敛 04:09 34.Stolz公式求解两个经典数列极限 04:48 29.妙极了!再用导数定义求极限 02:03 26.【考研题-巧解妙答-每日一练】巧用代换 04:34 01:58 20.【考研题-巧解妙答-每日一练】用欧拉常数秒解数列极限 05:06 18.【考研题-巧解妙答-每日一练】你必须掌握的一个经典数列极限证明 09:19 03:48 75.两个经典方法证明这个数列极限存在 06:38 78.计算含阶乘数列极限，斯特林公式极好用!! 03:26 38.一个令人惊叹的计算技巧 09:45 05:05 95.一道网红极限题 11:48 93.【一题多解】如果不能使用函数的连续性，怎么求解? 05:04 97.介绍四个巧妙又经典的方法 06:09 01:44 105.【快解系列】这个方法也不错，仅用2分钟 02:02 110.【快解系列】重要极限的使用 01:15 02:09 02:45 159.一个很有意思的数列极限问题 06:03 04:02 175.直接用定积分定义好像差了点 04:01 05:42 02:24 05:07 185.一道古老的浙江省大学生高数竞赛题 03:49 02:50 02:54 02:52 03:16 02:57 219.积分定义求解，但要稍稍处理一下 05:53 221.这类数列极限往往这么求解 05:13 03:09 258.网上很火的一道极限问题 03:06 01:49 06:25 283.很火的一道极限题，高手们下场试试 03:21 284.杀鸡不用牛刀，这道题其实很简单的 01:41 02:22 03:53 02:51 03:25 300.累次极限与二重极限 09:41 312.一道具有考研风格的极限题 04:19 02:29 314.这题可以做的很简单，也可以做的很复杂 06:24 315.练习下变限积分求极限 02:25 02:13

利用导数求极限

2，6利用导数求极限，一，引例分析，引例，求下列极限1，2，3，4，二，洛必达法则如果函数与满足条件，1，在点的某个领域内，点可除外，可导，且，2，极限是型或型，3，或，则

高等数学期末总复习DAY 3.利用导数定义求极限判断连续与可导的...

高等数学期末总复习DAY3.利用导数定义求极限判断连续与可导的关系关于导数定义的证明题基本求导基本高阶求导抽象函数求导 19篇文章49订阅 一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量，而是虚荣嫉妒不甘心 1.利用导数定义求极限 导数的两种定义 f ′ ( x 0 ) f\'{(x_0)} lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \\lim_{x \\to x_0} \\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} f ′ ( x 0 ) f\'{(x_0)} lim ⁡ Δ x → 0 \\lim_{ \\Delta x \\to 0} f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \\frac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{ \\Delta x} lim ⁡ Δ x → 0 \\lim_{ \\Delta x \\to 0} f ( x − Δ x ) − f ( x ) Δ x \\frac{f(x - \\Delta x) - f(x)}{ \\Delta x} 这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号 f ( x + Δ x ) f(x + \\Delta x) f(x+Δx) 所以很显然我们要凑第二类导数的定义 lim ⁡ Δ x → 0 \\lim_{ \\Delta x \\to 0} f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \\frac{f(x_0 - \\Delta x) - f(x_0)}{ \\Delta x} lim ⁡ Δ x → 0 \\lim_{ \\Delta x \\to 0} f ( x 0 + ( − Δ x ) ) − f ( x 0 ) − Δ x \\frac{f(x_0 +(- \\Delta x)) - f(x_0)}{ -\\Delta x} f ′ ( x 0 ) f\'(x_0) f ′ ( x 0 ) f\'(x_0) f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 f ′ ( 0 ) f\'(0) lim ⁡ x → 0 f ( x ) x \\lim_{x \\to 0} \\frac{f(x)}{x} 解:由题意得 lim ⁡ x → 0 f ( x ) − 0 x − 0 \\lim_{x \\to 0} \\frac{f(x) - 0}{x - 0} lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \\lim_{x \\to 0} \\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} f ′ ( 0 ) f\'(0) lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) h \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) + f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h} lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h} lim ⁡ h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} f ′ ( x 0 ) f\'(x_0) lim ⁡ h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} f ′ ( x 0 ) f\'(x_0) f ′ ( x 0 ) f\'(x_0) f ′ ( x 0 ) f\'(x_0) 2.判断连续与可导的关系 可导一定连续，连续不一定可导 一般有两种题型: f ( x ) = { . . . ( x ! = x 0 ) . . . ( x = x 0 ) f(x)=\\left\\{ \\begin{aligned} ... & & (x != x_0) \\\\ ... & & (x = x_0) \\\\ \\end{aligned} \\right. f ( x ) = { 0 x=0 x 2 s i n 1 x x!=0 f(x)=\\begin{cases} 0& \\text{x=0}\\\\x^2sin\\frac{1}{x}& \\text{x!=0} \\end{cases} 的连续性与可导性 解:依题意得该函数的断点为x=0

导数在函数中的应用

【关键词】导数函数的切线单调性极值和最值导数(导函数的简称)是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。 新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。 函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。 近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。 本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。 有关导数在函数中的应用主要类型有:求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是\"新课标\"下高考的重点。 一、用导数求函数的切线分析:根据导数的几何意义求解。 解:y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为:y=-3x.1、方法提升:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0，y=f(x0))处的切线的斜率。 既就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，y=f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。 二、用导数判断函数的单调性例2.求函数y=x3-3x2-1的单调区间。 解:y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x>0，解得x2。 由y′<0得3x2-6x<0，解得0故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。 三、用导数求函数的极值例3.求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值解:由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=-2.当x变化时，y′、y的变化情况如下:当x=-2时，y有极大值f(-2)=-(28/3)，当x=2时，y有极小值f(2)=-(4/3).四、用导数求函数的最值五、证明不等式5、方法提升:利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。 在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。 参考资料:1、普通高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社)2、高中数学教学参考导数(导函数的简称)是一个特殊函数，它的引出和定义始...\"构造函数\"在导数中的应用构造函数是处理导数题的重要方法，也是解决导数的重要途径，通过不断地构造函数把遇到的“拦路虎”一个个地克服掉，最终解决这类问题.通过一题多解让我们打开思维的闸门，也使我们的思维得到了训练，因此我们在平时练习中要能够体会构...关键词:Clarke方向导数;强Clarke方向导数;局部Lipschitz函数;KyFan不等式;正规锥;正切锥;不动点定理。

极限的几种求解方法下载

求函数极限的方法和技巧1、运用极限的定义例:用极限定义证明:x23x2lim1x2x2x23x2x24x4证:由1x2x2x22x2x20取则当0x2时，就有x23x21x2由函数极限定义有:x23x2lim1x2x22、利用极限的四则运算性质若limf(x)Alimg(x)Bxxxx00(I)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABxxxxxx000(II)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABxxxxxx000(III)若B≠0则:limf(x)f(x)Axxlim0xxg(x)limg(x)B0xx01(IV)limcf(x)climf(x)cA(c为常数)xxxx00上述性质对于x，x，x时也同样成立x23x5例:求limx2x4x23x5223255解:lim=x2x424203、约去零因式(此法适用于xx时，型)00x3x216x20例:求limx2x37x216x12x33x210x(2x26x20)解:原式=limx2x35x26x(2x210x12)(x2)(x23x10)=limx2(x2)(x25x6)(x23x10)(x5)(x2)=lim=limx2(x25x6)x2(x2)(x3)x5=lim7x2x34、通分法(适用于型)41例:求lim()x24x22x4(2x)解:原式=limx2(2x)(2x)1(2x)=limx2(2x)(2x)11=limx22x45、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)设函数f(x)、g(x)满足:(I)limf(x)0xx0(II)g(x)M(M为正整数)则:limg(x)f(x)0xx01例:求limxsinx0x1解:由limx0而sin1x0x1故原式=limxsin0x0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 1(I)若:limf(x)则lim0f(x)1(II)若:limf(x)0且f(x)≠0则limf(x)例:求下列极限11①lim②limxx5x1x11解:由lim(x5)故lim0xxx51由lim(x1)0故lim=x1x1x117、等价无穷小代换法设，\'，，\'都是同一极限过程中的无穷小量，且有:\'~\'，~\'，lim存在，\'\'则lim也存在，且有lim=lim\'1cosx2例:求极限limx0x2sinx2(x2)2解:sinx2~x2，1cosx2~2(x2)21cosx221lim=x0x2sinx2x2x22注:在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的\"阶数\"8、利用两个重要的极限。 sinx1(A)lim1(B)lim(1)xex0xxx但我们经常使用的是它们的变形:sin(x)(A\')lim1，((x)0)(x)1(B\')lim(1)(x)e，((x))(x)例:求下列函数极限ax1lncosax(1)、lim(2)、limx0xx0lncosbx1ln(1u)ax1ulna解:(1)令ax1u，则x于是lnaxln(1u)又当x0时，u0ax1ulnalnalna故有:limlimlimlimlnax0xu0ln(1u)u0ln(1u)u01ln(1u)uuln[(1(cosax1)](2)、原式limx0ln[1(cosbx1)]ln[(1(cosax1)]cosbx1limx0cosax1cosax1ln[1(cosbx1)]cosbx1cosbx1limx0cosax1asin2x2ab2sin2x(x)2(x)2222b2limlimbbaa2x02sin2xx0sin2x(x)2222b(x)229、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。 (i)若f(x)在xx处连续，则limf(x)f(x)00xx0(ii)若f[(x)]是复合函数，又lim(x)a且xx0f(u)在ua处连续，则limf((x))f[lim(x)]f(a)xxxx00例:求下列函数的极限excosx5ln(1x)(1)、lim(2)limx01x2ln(1x)x0x1excosx5解:由于x0属于初等函数f(x)的定义域之内。

【高等数学】用导数定义求极限

【高等数学】用导数定义求极限 14.0万播放简介 03:37 14:53 【高等数学】只能用泰勒级数的极限 03:53 07:28 06:51 06:22 09:45 07:04 26:24 02:51 04:30 08:29 01:26 08:51 06:39 07:16 【高等数学】极限难题的简便解法 05:29 03:59 03:49 08:17 06:24 04:44 04:56 09:03 07:41 03:44 06:57 07:58 04:51 12:05 10:33 20:36 10:37 【高等数学】导数与极限 04:52 12:31 【高等数学】用黎曼引理求积分极限 04:22 【高等数学】三角函数的积分 【高等数学】三角函数有理积分 07:52 【高等数学】奥斯特洛格拉德斯基方法 06:47 【高等数学】高阶导数 10:11 【高等数学】用母函数求级数和(续) 04:00 【高等数学】用母函数求级数和 04:49 【高等数学】用母函数求差分方程(又续) 06:40 【高等数学】用母函数解差分方程(又续) 08:07 【高等数学】用母函数求解差分方程(又续) 06:25 【高等数学】用母函数求解差分方程 09:53 【高等数学】差分方程的算子解法(续) 07:24 【高等数学】差分方程特解的算子求解方法 12:15 【高等数学】积分极限杂题 05:21 【高等数学】囗-1～ln囗反复应用 10:05 【高等数学】用导数定义求极限(又续) 05:42 【高等数学】用导数定义求极限(续) 11:12 08:30 【高等数学】极限难题一例 03:25 【高等数学】一类特殊的积分(续) 12:02 【高等数学】一类特殊的积分 06:41 【高等数学】积分求导与习题一例 05:35 【高等数学】方程极限级数杂题 11:03 【高等数学】大学生数学竞赛题 02:59 【高等数学】大学生数学竞赛积分题 03:13 【高等数学】无理函数的积分 04:32 【高等数学】积分的极限 04:38 【高等数学】反正切反正弦积分 07:36 【高等数学】积分的极限(又双续) 05:49 【高等数学】积分的极限(双续) 05:22 【高等数学】积分的极限(又续) 03:34 【高等数学】积分的极限(续) 05:00 【高等数学】积分不等式(续) 10:22 【高等数学】积分不等式和积分估值 03:19 【高等数学】积分不等式 【高等数学】浙江大学生数学竞赛一题 04:14 【高等数学】有关一致收敛 04:40 一个稍难的小积分 05:03 一个罕见的小积分 03:39 难的难得一见的小积分 02:05 一个怪怪的小积分 08:21 利用柯西积分公式求定积分 03:31 一道奇妙的积分，从指数函数到对数函数 12:01 一个简单的三角反三角混合积分 02:22 一个对数函数的广义积分 03:01 一个一阶微分方程 03:48 05:01 用定点导数求一个极限 06:17 用围道怎么做这个积分以及其他问题 06:31 一个积分不等式 10:31 求这个网红积分题的费曼积分法 05:39 求这个网红积分题的最快做法 02:11 一个看似复杂的极限题 11:45 一个积分与两个微分方程 06:01 一个麻烦的三角函数积分 04:45 一个简单的微积分题目 03:27 一个网友问的简单极限问题 02:40 一个网友问的简单幂级数求和问题 网友问的又一个幂级数求和问题 03:57 又一个算子法求幂级数和的问题 03:20 分母上有额外的n函数怎么办 02:44 在知乎挂了好多天也没人会做的积分题 一个简单极限不用上泰勒级数 02:38 拉格朗日恒等式的推导 03:03 一个常用对数三角函数的傅里叶展开 01:41 一个反函数的极限求解 12:32 组合法解此无理函数积分 03:23 双元法求解这个对数积分 03:42 用求导的方法求解积分 04:07 用求导的方法求解递推公式 分部积分法的长串复杂积分 05:11 余弦套娃的积分怎么解 04:17 证明两个三角恒等式 04:35 关于级数求和的基本方法 一个简单的极限 08:01 一个简单的积分 03:18 01:01 数学归纳法证明此式 06:13 求对数导数一例 02:10 一个网友问的重积分问题 一个简单的积分不等式 04:25 03:45 02:31 05:52 04:26 一个双曲函数不定积分 03:38 一个三角函数无理公式 03:04 04:12 03:10 03:21 01:28 01:32 01:36 01:56 02:09

利用导数定义求极限,你还在傻傻凑定义吗

-，视频播放量29190、弹幕量45、点赞数1578、投硬币枚数267、收藏人数509、转发人数138，视频作者无痕雪有情人，作者简介专注于考研知识分享，相关视频:通过利用导数的定义求导数，【高等数学】利用已知的极限式子求导数，自用导数定义判断可导性，导数:利用导数定义求导数，2.1.3利用导数定义求极限举例，多元函数的极限趋近问题，利用导数的定义求极限，13.导数定义求极限，一个巧妙又少见的方法，【每日一题35】【根据导数的定义求极限】简单做一下吧~~，31、利用导数定义求极限

导数在求极限中的应用

导数在求极限中的应用 极限是研究变量的变化趋势的基本工具。 在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。 极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。 因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。 本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L´Hospital法则，Tayl展式法及微分中值定理在求极限中的应用。 旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。 达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。

如何用导数的定义求极限

先给你看一下导数的定义，必须深刻理解。再给你看个例题，导数的定义求极限的题，此类题目很多，属于求极限专题的一个部分，建议听取一下考研数学汤家

巧用导数的定义式求极限(精选).pdf

巧用导数的定义式求极限(精选).pdf 10，No 18STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSSep.，2007 巧用导数的定义式求极限* (西安工程大学理学院 给出了导数的定义式应用的几个例子，指出了在求一类极限时，如果能巧妙的应用导数的定义式， 则可减小计算量 导数的定义式;未定式;极限 中国分类号 O172 导数是微分学的基本概念之一，它反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度.由于一般函数 的导数问题利用导数基本公式及其运算法则等进行计算，要比利用导数定义计算更加方便，所以， 导数定义式在解题中的作用常常被人们所忽视.而在教学中，由于时间限制老师也无法对运用导数 定义式求极限这一问题讲行深入展开.波里亚在 怎样解题一书中指出!回顾定义是一项重要的 智力活动，面对一个数学问题，如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义.∀ 本文对导数的定义式进行剖析，结合例题对如何利用导数的定义式求极限加以说明，以引起人们对 导数定义的进一步理解和重视. 一、常用的导数定义式 设函数y=f(x)在点x0处可导，则有下列式子成立: f (x ) - f( x0 ) f #(x 0 ) = lim x∃x 0x-x0 f(x0+h)-f(x0) 二、巧用导数的定义式求极限 lim x + p - p (p0，q0) x∃0x2+q2-q 零因子，针对本题的特征，对分母、分子同时进行有理化便可求解.但在学*了导数的定义式之后， 我们也可直接运用导数的定义式来求解. 令f(x)=x2+p2，g(x)=x2+q2 f(x)-f(0) 原式=lim=lim== x-0 第10卷第5期 萍，成立花:巧用导数的定义式求极限19 巧用导数的定义式求极限(精选)来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.

极限的计算方法总结

极限的计算方法总结 总结一般是怎么写的呢?以下是小编帮大家整理的极限的计算方法总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。 全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。 首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x)，没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。 洛必达法则分为3种情况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂，处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!。 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。 这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。 第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)。 11、还有个方法，非常方便的方法，就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。 12、换元法是一种技巧，不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。 13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。 14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。 一般是从0到1的形式。 15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性! 16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式，看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义! 函数是表皮，函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质:。 1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0); 2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致; 3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系; 4、还有个单调性。 (再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。 第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。 数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。

利用导数定义求函数的极限方法探讨

014年第7期scⅢN蚀&1fl旧田吣LoGY删踟哪泓哪NO科教前沿Olillllllll利用导数定义求函数的极限方法探讨。 罗世尧乐山师范学院数学与信息科学学院，l匹IJll乐山614004【摘要】极限理论是微积分的重点内容，极限的概念与极限的运算贯穿了整个微积分课程.掌握常用的求极限的方法与技巧是课程的基本要求。 本文讨论了利用导数定义求极限的方法。 【关键词】导数;极限;方法。 1理论基础导数定义:设函数只删在点知的某个邻域内有定义当自变量髫在知处取得增量△*时，相应地函数，，取得增量每可‰+△砷了㈨;如果每与缸之比当Ar+o时的极限存在测称函数，，气肭...。 利用导数定义求函数的极限方法探讨 内容提示:2014年第7期scⅢN蚀&1fl旧田吣LoGY删踟哪泓哪NO科教前沿Olillllllll利用导数定义求函数的极限方法探讨。 罗世尧(乐山师范学院数学与信息科学学院，l匹IJll乐山614004)【摘要】极限理论是微积分的重点内容，极限的概念与极限的运算贯穿了整个微积分课程.掌握常用的求极限的方法与技巧是课程的基本要求。 阅读了该文档的用户还阅读了这些文档 关注我们

利用导数求函数极值

2、极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤及求可导函数的极值的步骤.教学难点:教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤导函数的极值的步骤.教学重难点教学重难点利用函数的导数来研究函数利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调的单调性这个问题性这个问题.其基本的步骤为其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数f(x);解不等式解不等式f(x)0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式f(x)f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内函数的极值点一定出现在区间的内部部，3、区间的端点不能成为极值点区间的端点不能成为极值点.而使函数取而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点也可能在区间的端点.在上节课中在上节课中，我们是利用函数的导数来我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的研究函数的单调性的.下面我们下面我们利用函数的利用函数的导数来研究函数的极值问题导数来研究函数的极值问题.由上图可以看出由上图可以看出，在函数取得极值处在函数取得极值处，如果曲线有切线的话如果曲线有切线的话，则切线是水平的则切线是水平的，从从而有而有f(x)=0.但反过来不一定但反过来不一定.如函数如函数y=x3，4、在在x=0处处，曲线的切线是水曲线的切线是水平的平的，但这点的函数值既不比它附近的点但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大的函数值大，也不比它附近的点的函数值小也不比它附近的点的函数值小.假设假设x0使使f(x)=0.那么在什么情况下那么在什么情况下x0是是f(x)的极值点呢的极值点呢ooaX00bxy0)(0xf0)(xf0)(xf如上图所示如上图所示，若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点，则则x0两侧附近点的函数值必须小于两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此因此，x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是增函数只能是增函数，即即f(x)0;5、x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数，即即f(x)0.oaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf同理同理，如上图所示如上图所示，若若x0是是f(x)极小值点极小值点，则在则在x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数，即即f(x)0.从而我们得出结论从而我们得出结论:若若x0满足满足f(x)=0，且在且在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号，则则x0是是f(x)的极的极值点值点，f(x0)是极值是极值，并且如果并且如果f(x)在在x0两侧满两侧满足足\"左正右负左正右负\"，则则x0是是f(x)的极大值点的极大值点，f(6、x0)是极大值是极大值;如果如果f(x)在在x0两侧满足两侧满足\"左左负右正负右正\"，则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点，f(x0)是极是极小值小值.从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看，曲线在极值点处曲线在极值点处切线的斜率为切线的斜率为0，并且并且，曲线在极大值点左侧曲线在极大值点左侧切线的斜率为正切线的斜率为正，右侧为负右侧为负;曲线在极小值曲线在极小值点左侧切线的斜率为负点左侧切线的斜率为负，右侧为正右侧为正.求函数求函数y=f(x)的极值的极值f(x0)，并判别，并判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(3)如果在根如果在根x0附近的左侧7、附近的左侧f(x)0，右右侧侧f(x)0，那么那么，f(x0)是是极大值极大值;(4)如果在根如果在根x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，那么那么，f(x0)是是极小值极小值.(1)求导数)求导数f(x);(2)求方程)求方程f(x)=0的所有实数根的所有实数根;如果在如果在f(x)=0的根的根x=x0的左、右侧，的左、右侧，f(x)的符号不变，则的符号不变，则f(x0)不是极值不是极值.即即:f(x)=0的根不一定都是函数的极值点。

利用导数求极限.ppt

本章建立了导数的概念，并研究了导数的计算方法。下面介绍计算极限的新方法。---洛必达法则.第1页，共23页。第2页，共23页。第3页，共23页。第4页，共23页。第5页，共23页。第6页，共23页。第7页，共23页。第8页，共23页。注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.第9页，共23页。

导数在求极限中的应用

引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要

如何用导数求极限

如何用导数求极限利用导数求极限可以通过洛必达法则、导数定义法求极限、已知极限求导数这三种方法实现。 导数定义法求极限这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是所求函数满足导数定义的形式，此时可以用...。 利用导数求极限可以通过洛必达法则、导数定义法求极限、已知极限求导数这三种方法实现。 洛必达法则洛必达法则是当分子和分母都是连续可导的，且分子分母的极限都是0或者∞的时候，可以对分子分母分别求导一次再看极限。 例如，当x趋向于0时，求x/sinx的极限;分子分母都趋向于0，都可导，所以极限等同于1/cosx的极限，也就是1。 导数定义法求极限这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是所求函数满足导数定义的形式，此时可以用导数定义法比较方便的求出极限。 例如，设函数fx，其中10f，11f，求极限lim()2xxxfx。 解:根据函数fx在1x处的导数的定义:0(1)(1)1limxfxffx所以2(1)(1)222lim()lim(1)lim2(1)222222xxxffxxxxfxffxxxx。 已知极限求导数求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使已知极限的结构形式转换为所求极限的形式是顺利求导的关键。 因此，导数与极限的考查可以是已知导数求极限，也可以通过极限去求导数。 以上方法展示了如何利用导数来求解极限问题。

导数定义式在求极限中的应用

钦州学院学报2015V01.30No.2JOURNALQINZHOUUNIVERSITYFeb..2015导数定义式在求极限中的应用(广西大学行健文理学院，广西南宁530005)[摘要]微分学是微积.. 导数定义式在求极限中的应用.docx 钦州学院学报2015V01.30No.2JOURNALQINZHOUUNIVERSITYFeb..2015导数定义式在求极限中的应用(广西大学行健文理学院，广西南宁530005)[摘要]微分学是微积分的重要组成部分，导数作为微分学的基本概念应用广泛，而且导数的定义在求极限方面有着非常重要的地位。 对导数定义式进行深入剖析，可提出一种求解具有导数定义式特征题型的有效方法，从理论上说明该方法的可行性。 并可通过实例对比，验证该方法的有效性。 [关键词]微积分;导数;极限[中图分类号]0172[文献标识码]A[文章编号]1673—8314(2015)02—0038—03导数是微积分教学中的重要内容之一，由导例题分析数的定义可知，导数是一种特殊的极限，这就决定了导数和极限有着密切的联系，使得利用导数的在微积分教材中，当讲完导数概念后，例题或定义求极限成为可能。 在微积分教材的课后习题习题往往会出现如下题型(见文献‘1q1):(1)limf—(xo-2Ax)-—f(xo+3Ax):中往往会出现具有导数定义式特征的例子，通常设/(‰)存在，求下列各极限:需要将其变形，通过将其化为导数定义式进行求解。 本文通过对导数的定义式进行剖析，总结出一种求解该类题型的通用方法，能够有效地减少(2)!imnkXo+1)-f(犷上)1。 计算量，并通过实例验证该方法的可行性和有效微积分教材中较常用的导数定义式有以下两一删llm————五——一，.f(xo-2Ax)欹%)妖Xo)砜Xo+3Ax)缸)妖%)一[f(xo+3ax)妖知)](1)mo)=如堕%盟，(2)几。 ):lira石--X0其中，缸是一个无穷小量。 zo+3Ax)矾‰)1[收稿日期]2014—11—12[基金项目]广西高等教育教学改革工程项目:探索线性代数初等变换法的教学新模式(2013JGB430);广西研究生教育创新计划资助项目:直觉模糊数的得分函数及在多属性决策中的应用(YCSZ2012011)。 [作者简介]牛利利(1986一)，女，河南洛阳人，广西大学行健文理学院电气信息学部助教。 万方数据牛利利:导数定义式求极限中的应用392m02她(Xo+3Ax)2‰—为了能够更为简单的求解上述具有导数定义式特征的题型，本文对导数的定义式进行深入剖基本定理(2)一lim定理1设/(戈。 )存在，若在自变量的同一变解因lim(z。 +j-):lim(戈。 一—L):戈。 ，化过程中，函数妒(戈)的极限存在，且1im-2地葡-ynf(xo+1)-f(‰_土)证明linup(x)=石o，所以妒(z)=戈其中lima(并)=0，毗liIIl紫=liIIl定理2设/x。 )存在，若在自变量的同一变解因lim。 (3x—h)一im，(3h一菇)=2h，lim所以limf(3x-h)-f，(3h-x)一一“lim万方数据钦州学院学报第30小结z28ira:所以lim。 芋L=(ex)对于具有导数定义式特征的题型，应用本文提出的定理的结论很容易求出结果，对于现今微积分课时减少内容不变的情况，该定理不失是一li(1--COSX)=0，种简单且学生容易掌握的好方法。